Messunsicherheit nach GUM

Mit der Bestrebung die Angabe der Messunsicherheit in einem Standard zu vereinheitlichen veröffentlichten die metrologischen Staatsinstitute den Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM) [1]. Die Messungenauigkeitsbetrachtung des GUM stützt sich auf einen probabilistischen Ansatz. Nicht nur direkte Beobachtungen werden berücksichtigt, sondern alle Informationen über die am Messergebnis beteiligten Größen werden dargestellt. Somit ist das Ergebnis einer Messung laut GUM die Gesamtheit aller Werte $latex x_i$, die der Messgröße realistischerweise zugeordnet werden können. Diese Wahrscheinlichkeitsverteilungen werden mit Hilfe von Integralen konstruiert. Das zentrale mathematische Instrument ist hierbei die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF). Dabei wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung mittels dieser WDF konstruiert. Die Fläche zwischen WDF f($latex x_i$) und der x-Achse zwischen den Punkte a und b entspricht der Wahrscheinlichkeit, dass die Messgröße im Intervall [a,b] ist (Abbildung 1).

Abbildung 1: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Messgröße im Intervall [a,b] ist, entspricht der Fläche zwischen a und b

 

Damit entspricht das Ergebnis einer Messung einer WDF, womit mehr Informationen über den Messprozess einbezogen werden als in einer Intervallbetrachtung oder einer numerischen Darstellung. Beispielsweise bei der Messung einer Masse würden die Darstellungen m = 3,8 g (numerische Darstellung) und m = (3,8$latex \pm$0,5) g (Intervallbetrachtung) nicht die Informationen über die analoge Anzeige beinhalten. In Form einer Dreiecksverteilung als Form für die WDF könnte dieser Aspekt berücksichtigt werden (Abbildung 2).

Abbildung 2: Bestimmung der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion bei der Messung einer Masse

 

Mit jeder weiteren Information (z.B. Wiederholungsmessungen) verändert sich die WDF entsprechend. Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen können in beliebiger Form und für jede Messsituation passend gewählt werden. Sie sollten möglichst adäquat die zugänglichen Informationen aus der Messung und anderen Quellen darstellen. Der GUM schlägt relativ simple Formen von WDFs vor, die mathematisch handhabbar sind und auch die meisten auftretenden Messsituationen widerspiegeln. Einige sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

Verteilung Form der WDF Standardunsicherheit Beispiele
Rechteck-verteilung
$latex u= \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ – Digitale Anzeigeungenauigkeit
– Spannung einer Batterie mit unbekanntem Ladungszustand
– Literaturwerte
Dreieck-verteilung  

$latex u= \frac{a}{2 \sqrt{6}}$ – Analoge Anzeigeungenauigkeit
– Messung der Länge eines Bleistiftes
– Summe aus zwei gleich großen Rechteckverteilungen
Trapez-verteilung  

$latex u= \frac{a}{2 \sqrt{6}} \sqrt{1+\beta^2}$ – Summe/Differenz zweier
Rechteckverteilungen

– Länge eines Bleistiftes
– Schätzung einer Länge
Normal-verteilung  

$latex u=\sigma$ – Ungenauigkeit mit mehreren
unbekannten Störeinflüssen

– Mehrfachmessung, die eine Normalverteilung aufweist

Die einzelnen WDFs werden auf einen Bestwert und ein zugehöriges Unsicherheitsintervall reduziert. Das entstandene Intervall soll so gewählt sein, dass es je nach Wahl des Vertrauensintervalls (z.B. 65%, 95%) wieder diesem entspricht.

Der Bestwert: Als Bestwert wird in der Regel das arithmetische Mittel gewählt, wobei gerade bei sehr schiefen Verteilungen auch diese Wahl kritisch hinterfragt werden sollte (s. Aspekt 4). Das arithmetische Mittel einer Verteilung ist so definiert, dass die Summe aller Residuen (Differenz zwischen Mittelwert und einzelnem Messwert) gerade null ergibt.

Das Unsicherheitsintervall: Die Standardunsicherheit ergibt sich entsprechend aus der Wurzel der Summe der quadratischen Residuen, welche aufgrund der nur positiven Beiträge stets größer als null ist. (Für unendlich viele Werte innerhalb des Werteintervalls erweitert sich diese Summierung zu einem Integral.) Wendet man diese Definition auf die anderen beiden Verteilungen (Dreieck und Rechteck) an, so ergeben sich die untenstehenden Rechenvorschriften für die Verteilungen. Solange diese Standard-WDFs verwendet werden können diese Vorschriften genutzt werden.

Vorschlag für Schuleinsatz: Wenngleich fachmethodisch adäquat ist eine Betrachtung wie sie oben angedeutet ist für den schulischen Einsatz nur sehr begrenzt geeignet. Wie soll also ein fachmethodischer Zugang geschaffen werden, wenn die Fachmethode selbst nicht eingesetzt werden kann?

Eine Möglichkeit bietet hier die von uns entwickelte Webapplikation. Diese übernimmt die mathematischen Schritte der Unsicherheitsanalyse. Die standardmäßige WDFs (siehe Tabelle) sind voreingestellt und können den unterschiedlichen Messgrößen zugeordnet werden. Weiterhin gibt die Applikation eine Möglichkeit die resultierende Verteilung der Ergebnisgröße zu betrachten. Dies lässt qualitative Diskussionen an konkreten Beispielen (z.B. Angemessenheit eines Mittelwertes) zu.

Kritik: Die Applikation versteckt selbstverständlich große Teile des fachmethodischen Vorgehens und macht diese damit weniger nachvollziehbar. Für die Zielsetzung eines tieferen Verständnisses abseits von Rechenroutinen scheint dies jedoch gerade für den Schuleinsatz verkraftbar. Weiterhin ist die Applikation zunächst auf den Einsatz in bspw. Grundpraktika ausgerichtet und besitzt somit viele weiterführende Optionen und Informationen. In einer Neuauflage der Applikation wird ebenso auf einen großen Teil von Texteingabe zu Gunsten eine grafischen Eingabe von WDFs verzichtet um die Anwendung schulgeeigneter zu machen.

[1] Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement (GUM), 1 Rue Varambé, Case Postale 56, CH 1221, Geneva 20, Switzerland